Il numero d'oro

Il movimento di rotazione della Luna (su se stessa) avviene in un periodo di tempo uguale a quello della sua rivoluzione (movimento intorno alla Terra), e precisamente in 27 giorni, 7 ore e 43 minuti primi. Tale periodo di tempo è detto rivoluzione siderea o mese sidereo, in quanto coincide con l'intervallo che passa fra due congiunzioni successive della Luna con una stella. Tuttavia, siccome anche la Terra si sposta lungo la sua orbita intorno al Sole, mentre la Luna compie il suo moto intorno al nostro pianeta, ne consegue che la Luna non ritorna in congiunzione con il Sole dopo un mese sidereo, ma circa due giorni più tardi. Il valore medio dell'intervallo di tempo che passa fra due congiunzioni successive della Luna con il Sole è di 29 giorni, 12 ore, 44 minuti primi e 3 secondi, e prende il nome di rivoluzione sinodica o mese lunare o lunazione.

Nel V secolo a.C. l'astronomo ateniese Metone scoprì che 235 lunazioni (mesi lunari) fanno quasi esattamente 19 anni solari. Per tale ragione, dopo un ciclo di 19 anni (detto ciclo di Metone o ciclo metonico o ciclo lunare) le fasi della Luna tornano ai medesimi giorni dell'anno.
In altre parole, dopo aver osservato i giorni in cui hanno avuto luogo le diverse fasi lunari per 19 anni, si noterà che il ventesimo anno queste cadranno negli stessi giorni del primo anno, il ventunesimo anno cadranno negli stessi giorni del secondo anno, e così via.

Ecco perché la serie dei tempi, partendo dall'anno 1 a.C., è stata divisa in periodi di 19 anni, e a ciascun anno di ogni periodo è stato abbinato un numero naturale dall'1 al 19. Il numero d'oro è quindi il numero dell'anno nel ciclo lunare in corso.

Per trovare allora il numero d'oro relativo a qualsiasi anno, basta sommare 1 all'anno, e dividere poi per 19. Il resto di questa divisione dà il numero d'oro; se però il resto è uguale a 0, il numero d'oro è 19.
Meglio ancora si può ottenere dividendo l'anno per 19 e aumentando di una unità il resto così ottenuto.
Per l'anno 1990, ad esempio, il calcolo è:
(1990 + 1) : 19 =
1991 : 19 =
104 col resto di 15;
oppure
1990 : 19 = 104 col resto di 14; 14 + 1 = 15;
per cui il numero d'oro per il 1990 è 15.

L'epatta.

Si è già precisato che l'età della luna è uguale al numero di giorni trascorsi dall'ultimo novilunio.

L'epatta relativa a un determinato anno è l'età della luna al 31 dicembre dell'anno precedente.

Così, ad esempio, l'epatta per il 1990 è 3, poiché al 31/12/1989 l'età della luna era di tre giorni, ossia l'ultimo novilunio risaliva al 28/12/1989, cioè a tre giorni prima.

La seguente regola serve a calcolare l'epatta di un anno gregoriano qualunque:

si moltiplica il numero d'oro per 11, dal prodotto si sottrae 10, il risultato si divide per 30, e si ottiene un resto, che indichiamo con a. Si sottrae 15 dal numero secolare dell'anno proposto (ovvero il numero formato escludendo le ultime due cifre dell'anno) e si ha un numero b. Si divide b per 25, si toglie il quoziente dal dividendo, si divide questa differenza per 3, e si ottiene un quoziente c. Si moltiplica b per 3, si divide il prodotto per 4, e si ottiene un quoziente d. Si sottrae c da d, e si divide il risultato per 30; il resto di questa divisione sia chiamato e. Se infine si sottrae e da a, si ha l'epatta. Nel caso che e sia maggiore di a, si sottrae a da e, poi si sottrae il risultato da 30, ottenendo così l'epatta. Di tutti i quozienti si considera solo la parte intera, trascurando le cifre decimali.

Lo schema delle operazioni da eseguire è il seguente:

[(n. d'oro x 11) - 10] : 30
(r) = resto = a;

n. secolare anno - 15 = b;
[b - (b : 25)] : 3 = c;
(b x 3) : 4 = d;
(d - c) : 30
(r) = resto = e;

a - e = epatta;

oppure:

30 - (e - a) = epatta.

Ecco un esempio, relativo al calcolo dell'epatta per il 1990:

15 (= n. d'oro) x 11 = 165; 165 - 10 = 155; 155 : 30 = 5 con resto 5; a = 5;
19 (= n. secolare anno) - 15 = 4; b = 4;
4 : 25 = 0,16; 4 - 0 = 4; 4 : 3 = 1,3; c = 1;
4 x 3 = 12; 12 : 4 = 3; d = 3;
3 - 1 = 2; 2 : 30 = 0 con resto 2; e = 2;
5 - 2 = 3; epatta per il 1990 = 3.

Conoscendo però l'epatta di un anno qualsiasi, è molto facile sapere l'epatta degli anni ad esso più vicini. Essendo la durata di una lunazione di circa 29 giorni e mezzo, e calcolando i computisti sia antichi che moderni i mesi lunari alternativamente di 29 e di 30 giorni, l'epatta è sempre un numero che varia tra 0 e 29, poiché se l'epatta fosse uguale a 30, sarebbe come se fosse 0. Sappiamo inoltre che 12 lunazioni intere formano circa 354 giorni, con un residuo rispetto all'anno solare di 11 giorni circa se l'anno è comune e di 12 se è bisestile. Per questo motivo da un anno all'altro l'epatta aumenta di 11 unità, e quando diventa maggiore di 30 basta sottrarre questo numero. Così, se l'epatta del 1990 è 3, quelle degli anni successivi saranno rispettivamente 14, 25, 6, 17, ecc.

Ogni 19 anni, però, proprio in corrispondenza degli anni con numero d'oro uguale a 1, l'epatta aumenta di 12 unità rispetto all'anno precedente (con numero d'oro 19).

Purtroppo non è finita così: poiché la durata del ciclo metonico non è esattamente di 19 anni, ma più breve di circa un'ora e mezza, per conseguenza le epatte crescono di un giorno ogni 300 anni circa, e di 8 giorni ogni 2500 anni circa.

Fino al 1582 questo "particolare" era stato trascurato: il ciclo metonico veniva considerato di 19 anni esatti e per sapere l'epatta (in maniera imprecisa), partendo dal numero d'oro, era sufficiente effettuare il seguente calcolo:

epatta = (r) [11 x (n-1)] : 30,

intendendo per (r) il resto della divisione per 30 e per n il numero d'oro.

Il significato di questa epatta non era, però, l'età della luna al 31 dicembre dell'anno precedente, ma l'età della luna al 31 dicembre dell'anno precedente meno 8 (o, ciò che è lo stesso, l'età della luna al 22 marzo).

In tal modo, ad ogni numero d'oro corrispondeva una determinata epatta, per cui i valori possibili dell'epatta potevano solo essere 19, e precisamente:

1, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 30.

Nella riforma gregoriana del calendario si è provveduto ad attuare questa correzione, chiamandola equazione lunare.

Fu stabilito che alle epatte degli anni del periodo 550-800 si dovesse aggiungere una unità negli anni 800, 1100, 1400 e 1800, e che in seguito si ripetesse l'aggiunta di una unità ogni 300 anni per 7 volte, mentre l'ottava volta l'aggiunta di una unità sarebbe avvenuta dopo 400 anni. La seguente tabella dà così il numero di unità da aggiungersi alle epatte del periodo 550-799:

EQUAZIONE LUNARE

Anni dell'era volgare	Equazione lunare
550	0
800	1
1100	2
1400	3
1800	4
2100	5
2400	6
2700	7
3000	8
3300	9
3600	10
3900	11
4300	12
4600	13

Sempre nella riforma gregoriana si calcolò che l'anno 551, considerato anno base per l'equazione lunare, dovesse avere numero d'oro 1 ed epatta 8.

Partendo da questo dato, è anche possibile calcolare l'epatta per il periodo successivo al 1582 utilizzando la formula seguente:

epatta = y + 8 + equazione lunare - giorni tolti dalla riforma gregoriana, dove
y = (r) [11 x (n-1)] : 30,
ossia l'epatta secondo il vecchio metodo di calcolo (intendendo come al solito per (r) il resto della divisione e per n il numero d'oro).

La formula:

epatta = y + 8

che non tiene conto dell'equazione lunare, è quella da utilizzare per calcolare la data di Pasqua fino al 1582 compreso.
Si limita infatti ad aggiungere 8 al valore dell'epatta medievale, per farlo coincidere con l'età della luna alla fine dell'anno precedente. C'è da notare che 8 è l'età della luna calcolata da Dionigi il piccolo per l'inizio dell'anno 1 a.C., da lui scelto come anno base per i cicli diciannovennali del numero d'oro, ed è anche l'età della luna all'inizio dell'anno 551.
Questa è l'epatta che viene ancor oggi utilizzata da quasi tutte le chiese ortodosse, sempre per fissare la data di Pasqua, in quanto queste chiese non hanno accettato la riforma gregoriana.

Per il periodo 1583-1699 abbiamo:

epatta = y + 8 + 3 - 10 = y + 1

Per il periodo 1700-1799 abbiamo:

epatta = y + 8 + 3 - 11 = y

Per il periodo 1800-1899 abbiamo:

epatta = y + 8 + 4 - 12 = y

Per gli anni dal 1900 al 2099 compresi la formula diventa:

epatta = y + 8 + 4 - 13 = y - 1

Per il periodo 2100-2199 dobbiamo scrivere:

epatta = y + 8 + 5 - 14 = y - 1,

scoprendo dunque che la formula rimane invariata per tutto l'arco di tempo 1900-2199.

Come esempio finale, sapendo che il numero d'oro per il 1990 è 15, si può trovare l'epatta svolgendo questa operazione:

epatta = (r) [11 x (15 - 1)] : 30 - 1 = (r) (154 : 30) - 1 = 4 - 1 = 3.

L'epatta è utilizzata, come si è già accennato, per il calcolo della data della Pasqua.

COME CALCOLARE LA DATA DELLA PASQUA

Il primo Concilio di Nicea (anno 325) stabilì che la solennità della Pasqua di Resurrezione sarebbe stata celebrata nella domenica seguente il primo plenilunio (quattordicesimo giorno della luna ecclesiastica) che viene dopo l'equinozio di primavera.

In quell'occasione (o, più probabilmente, nei decenni successivi) la data ufficiale dell'equinozio fu spostata dal 25 marzo al 21 marzo, poiché, a causa delle imprecisioni del calendario giuliano, si erano accumulati a quell'epoca quasi quattro giorni di ritardo rispetto al tempo di Giulio Cesare. (Va comunque detto che, per varie ragioni, la data astronomica esatta dell'equinozio varia da un anno all'altro e nel corso dei secoli).

Per questo la data di Pasqua è compresa tra il 22 marzo e il 25 aprile (inclusi). Infatti, se proprio il 21 marzo è di luna piena, e questo giorno è sabato, sarà Pasqua il giorno dopo (22 marzo); se invece è domenica, il giorno di Pasqua sarà la domenica successiva (28 marzo).
D'altro canto, se il plenilunio succede il 20 marzo, quello successivo si verificherà il 18 aprile, e se questo giorno fosse per caso una domenica occorrerebbe aspettare la domenica successiva, cioè il 25 aprile.

La questione sul metodo di calcolo della data di Pasqua fu molto dibattuta all'interno della Chiesa, soprattutto prima, ma anche dopo il Concilio di Nicea. (Per una storia più dettagliata della vicenda vedi l'Enciclopedia Treccani alla voce Pasqua).

Nel corso dei secoli V-VII si affermò (grazie soprattutto all'opera di Dionigi il Piccolo) il metodo di compilare delle tavole delle date di Pasqua, basato sul ciclo diciannovennale di Metone. In pratica, la data di Pasqua era il risultato di un algoritmo che combinava il ciclo di Metone, e quindi il numero d'oro, con il ciclo solare, ottenendo un ciclo di 19 x 28 = 532 anni.

Come abbiamo già visto, ad ogni numero d'oro corrispondeva una determinata epatta, per cui i valori possibili dell'epatta potevano solo essere 19, e precisamente:

1, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 30.

La riforma gregoriana del 1582 (vedi il capitolo L'epatta) rese più preciso il calcolo, introducendo una correzione del ciclo di Metone e utilizzando tutti e 30 i valori possibili dell'epatta.

In seguito a ciò, il ciclo delle date di Pasqua (al termine del quale si ricomincia dalla prima data) non è più di 532 anni, ma bensì di 5.700.000 anni, dato dal prodotto dei quattro numeri seguenti:

19 (durata in anni del ciclo di Metone)
400 (durata in anni del ciclo solare nel calendario gregoriano, che tiene conto dei giorni non più bisestili per effetto della riforma)
25 (numero che corregge il ciclo diciannovennale di Metone)
30 (numero delle diverse epatte possibili)

(cfr. Klaus Tondering al punto 2.12.9).

Parecchie chiese ortodosse utilizzano il calendario giuliano, anziché il gregoriano, per il calcolo del giorno di Pasqua, che in tal modo viene celebrato in un giorno generalmente diverso rispetto a quello della Chiesa cattolica e delle chiese protestanti.
E' in corso un tentativo da parte della Chiesa cattolica, delle chiese ortodosse e di quelle protestanti di stabilire una data di Pasqua che sia la stessa sia per le chiese occidentali, sia per quelle orientali. Ciò sarebbe possibile se, anziché ricorrere ad algoritmi e ad una data dell'equinozio fissata a priori (21 marzo), si procedesse a eseguire i calcoli sulla base del momento esatto degli eventi astronomici (equinozio e pleniluni).

Rebus sic stantibus, ecco quattro metodi per calcolare la data della Pasqua: il primo richiede la conoscenza dell'epatta; il secondo è un metodo aritmetico, dovuto al celebre matematico Karl Friedrich Gauss (1777-1855); il terzo è sotto molti aspetti il più comodo e universale di tutti, soprattutto se si effettuano i calcoli mediante il computer, ed è un algoritmo di Oudin riproposto e modificato da Claus Tondering nel suo sito Frequently asked questions about calendars; col quarto, infine, la data di Pasqua si ricava dal numero d'oro mediante una tabella.

In realtà, di metodi ne esistono di svariati: mi limito a citarne altri due.
Uno è dovuto a Vincenzo Bronzin (1872-1970), ed è stato illustrato da Bruno Cester sulla rivista L'astronomia, nel numero 31 del marzo 1984 (occorre però consultare anche l'errata corrige apparsa nel numero 35 di luglio-agosto 1984).
Un altro è quello descritto da Leopoldo Benacchio nel numero 70 del 1987 della stessa rivista, che però risale all'Ecclesiastical astronomy di Butcher del 1876 e fu descritto anche da Spencer Jones in General astronomy nel 1961.

Se invece volete evitare qualsiasi spiegazione e passare subito al pratico, potete consultare la mia tabella delle date di Pasqua dal 1950 al 2050, oppure far eseguire il calcolo al computer mediante JavaScript, oppure ancora utilizzare siti come quello degli Easter date algorithms.